议古根源
宋刘益(生卒年不可考)撰。《续资治通鉴》载:“(天禧)三年……三月……周怀政………俄于终南山修道观与殿直刘益辈造符命,托神言国家休咎或臧否大臣。”知刘益生活在北宋真宗(998-1023)年间,定州(今河北定县)人。刘益《议古根源》已失传,幸得杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下引用了《议古根源》中的二十二个问题,成为我们研究刘益的主要依据。杨辉在《田亩比类乘除捷法》(1275)序中称:“中山刘先生作《议古根源》;……引用带从开方正负损益(系数不拘正负)之法,前古之所未闻也”。杨辉在《算法通变本末》上卷说:“刘益以勾股之术治演段锁方,撰议古根源二百问带益隅(首项为负)开方,实冠前古。”可见《议古根源》是在方程论方面作出创见的著作。在刘益之前解方程都有一定限制,首项系数是正的,而且是1。刘益《议古根源》二百问则突破了这一限制,二次项系数可不为1,亦不拘正负,甚至有一题是首项系数为-5的四次方程。关于一般二次方程的解法,刘益采用了“益积术”和“减从木”。益积术是先行估根,将估得结果与原未州数代换得一新方程,而这一新方程的常数项即原常数系之“积”益得的结果,故称益积术。在上述代换中常数移至右端变形,从隅中减去从法,即称减从木。刘益认为:“若不益积,便用减从;或有不可益积者,须用减从开之。”而四次方程式的解法为“增乘开方法”可谓此法在解高次方程的最早例子了。刘益的正负开方术,为杨辉多次引用,对宋元数学有一定的影响。《议古根源》的版本已不可考。